容斥問題是公務員考試中非常重要的考試內容之一，其中三者容斥是容斥問題中的重要部分。然而，很多同學對于三者容斥都感覺十分的棘手，今天，我們就一起重新認識容斥問題中的三者容斥問題。
一、基本公式
容斥問題主要研究集合間的交叉問題。解決容斥問題要把握一個非常重要的原則，就是無重復、無遺漏、多重變一重。例如某班級喜歡數學的有40人，喜歡語文的有36人，喜歡英語的有30人，既喜歡數學又喜歡語文的有28人，既喜歡數學又喜歡英語的有26人，既喜歡語文又喜歡英語的有24人，三門課程均喜歡的有20人，三門課程均不喜歡的有2人。該班級共有學生多少人?拿到問題之后可能同學們會感覺非常的困難，題目比較長，感覺有些混亂，我們用一張文氏圖來幫助我們找到所給條件之間的關系。
I表示全集;M表示三個集合均不屬于;A∩B表示既屬于A又屬于B;A∩C表示既屬于A又屬于C;B∩C表示既屬于B又屬于C;A∩B∩C表示三個集合均屬于;
由圖可知，三個集合相交部分，有單層部分，有兩個集合相交部分，也有三個集合相交部分。我們要表示全集I，先把三個集合相加，相加的時候單層部分加了一次，兩個集合重合部分加了兩次，多計算一次，需要減掉，而三個集合重合部分加了三次，減了三次，相當于漏掉了，需要加上一次，最后在加上M部分，就可以表示出全集I，由此可得公式：
I=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C+M
題目中代入公式可得:I=40+36+30-28-26-24+20+2=50人。
二、例題
例：某校共有三個興趣小組，分別為體育、書法和美術。已知參加這三個興趣小組的學生分別是25人、24人、30人。同時參加體育、書法興趣小組的有5人，同時參加體育、美術興趣小組的有2人，同時參加書法、美術興趣小組的有4人，有1人同時參加這三個興趣小組，問：共有多少人參加興趣小組?
A.74 B.72 C.70 D.69
【答案】D。解析：這道題是一道容斥問題，有三個集合分別記作集合A(體育)、集合B(書法)、集合C(美術)，可得A=25，B=24，C=30，A∩B=5，A∩C=2，B∩C=4，A∩B∩C=1，由題意可知學員均參加興趣小組即M=0。求全班人數即全集I，先三個集合相加，兩個集合交集部分多計算一次，需減掉，三個集合交集部分加了三次，減掉三次，需要在加一次，可得I=25+24+30-5-2-4+1+0，根據選項可由尾數法得5+4+0-5-2-4+1+0=9，尾數為9只有69，本題答案為D。
三、總結
在三者容斥問題當中一定要牢記核心原則，根據原則結合文氏圖，理解性的記憶公式，會有助于更好的理解和運用公式。
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